【ฉบับพิมพ์หนังสือเรียนของสำนักงานการศึกษาแห่งชาติ】คณิตศาสตร์มัธยมต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ภาคเรียนที่ 2: จากความสมดุลสู่ความไม่สมมาตร: คุณสมบัติของอสมการและการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเครื่องหมาย

ในบทเรียนนี้ เราจะก้าวผ่านแนวคิด 'ความงามของสมการ' ที่มีสมดุล มาสู่ 'ความไม่สมมาตรแบบไดนามิก' ของอสมการ โดยหลักการสำคัญคือการเข้าใจว่าเครื่องหมายของอสมการจะคงทิศทางอย่างไร และเกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันเมื่อใด — ซึ่งเกิดจากการดำเนินการด้วยจำนวนลบตามคุณสมบัติข้อ 3 ทำให้ลำดับเดิมถูกทำลาย นี่คือรากฐานสำคัญในการเข้าใจตรรกะของการคำนวณอสมการกลุ่ม

1. วิธีเปรียบเทียบผลต่าง: แก่นแท้ของความสัมพันธ์อสมการ

แก่นแท้ของความสัมพันธ์อสมการคือการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของค่าตัวเลขบนเส้นจำนวน แนวคิดการตัดสินความสัมพันธ์ระหว่างขนาดโดยอาศัยผลลัพธ์จากการลบ คือตรรกะพื้นฐานในการจัดการกับอสมการที่ซับซ้อน:

เมื่อ $a - b > 0$ แล้ว จะต้องมี $a > b$;
เมื่อ $a - b = 0$ แล้ว จะต้องมี $a = b$;
เมื่อ $a - b < 0$ แล้ว จะต้องมี $a < b$

2. คุณสมบัติการคงเครื่องหมาย: การเลื่อนและขยายเชิงบวก

ปฏิบัติตามคุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 ของอสมการ เมื่อเพิ่มหรือลบจำนวนเดียวกัน หรือคูณหรือหารด้วยจำนวนบวกเดียวกันทั้งสองข้างของอสมการ จุดบนเส้นจำนวนอาจเคลื่อนที่หรือขยาย แต่ลำดับก่อนหลังยังคงเดิม

คุณสมบัติข้อ 1: เมื่อเพิ่ม (หรือลบ) จำนวนเดียวกัน (หรือพจน์เดียวกัน) ทั้งสองข้างของอสมการ เครื่องหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง
คุณสมบัติข้อ 2: เมื่อคูณ (หรือหารด้วย) จำนวนบวกเดียวกันทั้งสองข้างของอสมการ เครื่องหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง

3. Effektภาพสะท้อน: จุดเปลี่ยนทิศทางของเครื่องหมาย

นี่คือหัวใจสำคัญที่สุดของบทเรียนนี้ เมื่ออสมการทั้งสองข้างคูณ (หรือหารด้วย) จำนวนลบเดียวกัน เครื่องหมายของอสมการจะต้องเปลี่ยนแปลงซึ่งแสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์ 'การสะท้อนกลับ' ของเครื่องหมายลบในการดำเนินการอสมการ

คุณสมบัติข้อ 3 (หลัก)

หาก $a > b, c < 0$ แล้ว $ac < bc$ (หรือ $rac{a}{c} < rac{b}{c}$)

🎯 สรุปสูตรหลัก

1. หาก $a > b$ แล้ว $a \pm c > b \pm c$
2. หาก $a > b, c > 0$ แล้ว $ac > bc$
3. หาก $a > b, c < 0$ แล้ว $ac < bc$

คำถามที่ 1

เติมเครื่องหมาย “$>$” หรือ “$<$” ลงในช่องว่าง: $5 > 3, 5+2 \_\_ 3+2, 5-2 \_\_ 3-2$

>, >

<, <

>, <

<, >

คำถามที่ 2

ทราบว่า $6 > 2$ แล้ว $6 \times (-5) \_\_ 2 \times (-5)$

$>$

$<$

$=$

ไม่สามารถระบุได้

คำถามที่ 3

กำหนดให้ $a > b$ แล้ว $-4a \_\_ -4b$

$>$

$<$

≥

≤

คำถามที่ 4

เปรียบเทียบขนาดของ $\sqrt{8}$ กับ $\sqrt{10}$

$\sqrt{8} > \sqrt{10}$

$\sqrt{8} < \sqrt{10}$

$\sqrt{8} = \sqrt{10}$

คำถามที่ 5

โจวจุนกล่าวว่าอสมการ $a > 2a$ จะไม่เคยเป็นจริง ความเห็นของเขาถูกต้องหรือไม่?

对，因为 $1 > 2$ 不成立

ไม่ถูกต้อง เมื่อ $a < 0$ แล้วจะเป็นจริง

ถูกต้อง นำมาจากคุณสมบัติข้อ 2

ไม่ถูกต้อง เมื่อ $a = 0$ แล้วจะเป็นจริง

คำถามที่ 6

เปรียบเทียบขนาดของ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ กับ $0.5$

$>$

$<$

$=$

คำถามที่ 7

แก้อสมการ $x-7 > 26$

$x > 19$

$x < 33$

$x > 33$

$x > 33$ และ $x \neq 0$

คำถามที่ 8

แก้อสมการ $-4x > 3$

$x > -\frac{3}{4}$

$x < -\frac{3}{4}$

$x < \frac{3}{4}$

$x > \frac{4}{3}$

คำถามที่ 9

ภาชนะทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว $5\text{cm}$ กว้าง $3\text{cm}$ สูง $10\text{cm}$ ระดับน้ำเดิม $3\text{cm}$ เติมน้ำ $V\text{cm}^3$ ดังนั้น $V$ อยู่ในช่วงใด:

$0 < V < 150$

$0 < V \leq 105$

$3 < V < 10$

$V \leq 150$

คำถามที่ 10

การแข่งขัน 20 ข้อ ตอบถูกได้ 10 คะแนน ตอบผิดหรือไม่ตอบต้องหัก 5 คะแนน ต้องได้คะแนนเกิน 90 คะแนน ต้องตอบถูกอย่างน้อยกี่ข้อ?

การฝึกทักษะ: การแยกโครงสร้างตรรกะของอสมการที่ซับซ้อน

คำถามที่ 1: ความท้าทายในการสร้างแบบจำลอง
แก้อสมการ $\frac{x+3}{5} < \frac{2x-5}{3} - 1$ และเขียนขั้นตอน

1. กำจัดเศษส่วน:คูณทั้งสองข้างด้วย 15 (จำนวนบวก เครื่องหมายไม่เปลี่ยน): $3(x+3) < 5(2x-5) - 15$
2. กำจัดวงเล็บ:$3x + 9 < 10x - 25 - 15$
3. ย้ายพจน์และรวมพจน์:$3x + 9 < 10x - 40 \implies 49 < 7x$
4. ทำให้สัมประสิทธิ์เป็น 1:$x > 7$
การแสดงบนเส้นจำนวน:วาดจุดวงกลมว่างที่ 7 แล้ววาดเส้นเป็นพิเศษไปทางขวา

คำถามที่ 2: การประยุกต์ใช้คุณสมบัติข้อ 3 อย่างสุดขีด
แก้อสมการ $\frac{2x-1}{3} - \frac{3x-1}{2} \geq \frac{5}{12}$

1. กำจัดเศษส่วน:คูณทั้งสองข้างด้วย 12: $4(2x-1) - 6(3x-1) \geq 5$
2. กระจาย:$8x - 4 - 18x + 6 \geq 5$
3. จัดเรียง:$-10x + 2 \geq 5 \implies -10x \geq 3$
4. ขั้นตอนสำคัญ (เปลี่ยนเครื่องหมาย):หารทั้งสองข้างด้วย $-10$ เครื่องหมายกลับทิศ: $x \leq -0.3$
การแสดงบนเส้นจำนวน:วาดจุดวงกลมเต็มที่ -0.3 แล้ววาดเส้นเป็นพิเศษไปทางซ้าย

✨ ประเด็นหลัก

บวกหรือลบด้วยจำนวนเดียวกันเครื่องหมายไม่เปลี่ยน、คูณหรือหารด้วยจำนวนบวกยังคงเหมือนเดิม।เจอกับจำนวนลบต้องระวัง、เปลี่ยนทิศทางคือสิ่งสำคัญ!

💡 ดูขนาดโดยใช้การลบ

หากคุณไม่แน่ใจว่าพจน์เชิงนามธรรมสองพจน์ใดใหญ่กว่า ลองทำการลบ ผลลัพธ์มากกว่า 0 แสดงว่าตัวที่ลบออกมามากกว่า ผลลัพธ์น้อยกว่า 0 แสดงว่าตัวที่ถูกลบออกมาน้อยกว่า

💡 ระบบเตือนการเปลี่ยนเครื่องหมาย

ทุกครั้งที่คุณดำเนินการคูณหรือหารทั้งสองข้างของอสมการ ขอให้หยุดพัก 0.5 วินาทีเพื่อตรวจสอบว่าเป็นบวกหรือลบ จำนวนลบต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย!

💡 จุดว่าง หรือ จุดเต็ม

เมื่อแสดงบนเส้นจำนวน: $>$ หรือ $<$ ใช้จุดวงกลมว่าง (ไม่รวมขอบเขต); $\geq$ หรือ $\leq$ ใช้จุดวงกลมเต็ม (รวมขอบเขต)

💡 陷เคมของโจวจุน

เมื่อหารทั้งสองข้างของอสมการที่มีตัวแปรเป็นตัวประกอบ (เช่น หารด้วย $a$) ต้องพิจารณา $a$ เป็นจำนวนบวก ลบ หรือศูนย์ ศูนย์ไม่สามารถเป็นตัวหารได้

💡 คำสำคัญในปัญหาจริง

“อย่างน้อย” ตรงกับ $\geq$ “เกิน” ตรงกับ $>$ “ไม่ถึง” ตรงกับ $<$ “ไม่มากกว่า” ตรงกับ $\leq$